È l’arcivescovo di Sarajevo ed è stato creato cardinale da papa Giovanni Paolo II.
Dodicesimo di tredici figli, rimase orfano di madre a tre anni. Il padre si risposò e fu allevato dalla matrigna.
Entrò al seminario minore di Zagabria e frequentò poi il seminario minore e maggiore di Ðakovo. Fu ordinato presbitero il 29 giugno 1970 e incardinato nella diocesi di Banja Luka, dove rimase fino al 1978. Da quell’anno si trasferì nell’arcidiocesi di Zara, dove fu direttore spirituale del seminario minore. Nel 1990 si trasferì a Sarajevo come vicerettore del seminario.
È arcivescovo di Sarajevo dal 19 novembre 1990, mentre ha ricevuto la consacrazione episcopale dalle mani di papa Giovanni Paolo II il 6 gennaio 1991. Dopo un anno dalla sua nomina, in Bosnia iniziarono i combattimenti. Durante l’assedio di Saraje
vo si distinse per accorati appelli di pace e di difesa dei diritti inalienabili della persona umana, rischiando anche la vita. Fu imprigionato per 12 ore dai militari serbi.
Papa Giovanni Paolo II lo ha innalzato alla dignità cardinalizia nel concistoro del 26 novembre 1994, a 49 anni, anche come segno di vicinanza alle popolazioni colpite dal conflitto armato. Tra i cardinali creati da Giovanni Paolo II è preceduto solo da Alfonso López Trujillo, elevato cardinale a 48 anni nel 1983. È anche il primo cardinale bosniaco della storia. Ha il titolo di Santa Chiara a Vigna Clara.
Ha ricevuto papa Wojtyła nello storico viaggio a Sarajevo del 1997.
Il cardinale Vinko Puljić è stato presidente della Conferenza Episcopale Bosniaca dal 2005 al 2010. Aveva già rivestito questo ruolo dal 1995 al 2002.
Tra gli incarichi che ricopre, vi è quello di membro della Commissione internazionale di inchiesta su Međugorje.
Ha partecipato al conclave del 2005, che ha eletto papa Benedetto XVI.